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ABCD is a square, AC & BD are its diagonals which intersect at O. Given angle BDL =angle LDC, and BL = 6cm. find the length of the line segment OK. Jan 1, 2020

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Call S  the side of the  square

Using the Law of Sines

LC/ sin (LDC)  =  S / sin (67.5)

(S - 6)  /sin 22.5)  = S / sin (67.5)

(S - 6)  / S   =    sin (22.5)  / sin (67.5)

(S - 6) /S   =   sin (22.5) / cos(22.5)

(S - 6)  /S  =   tan (22.5)

(S - 6)  / S   =  tan (45/2)

(S - 6) / S  =  ( 1 - cos(45) )  / sin (45)

(S - 6) / S   =   ( 1 - √2/2 )  / ( √2/2)

(S - 6) / S  =  [ 2 - √2] / √2

(S - 6) / S  =    √2  - 1

S - 6  =  S [√2 - 1]

S  - S [ √2 -1]  =  6

S  [ 2 - √2 ]   =  6

S =   6  / [ 2 - √2]

S = 6 [ 2 +√2] / 2  =   3 [ 2 +√2]  =   6  + 3√2

And applying the Law of Sines again

S / sin (DKC)  = KC / sin(KDC)

S  / sin  (112.5)  =  KC  / sin (22.5)

KC  =   S* sin ( 22.5)  / sin (112.5)

KC  =  S * sin (22.5) / sin (67.5)

KC =  S * sin (22.5) / cos(22.5)

KC =  S *  tan (22.5)

KC =  S  *   [√2 - 1]

KC  = 3 [ 2 + √2]  [ √2 - 1]

KC  = 3 [ 2√2 + 2 - 1 - √2]

KC  =  3 √2

So   the length  of 1/2   of the diagonal  =  OC =

S√2  / 2     =  ( [ 6 + 3√2] * √2  ) /2  =     [ 6√2 + 6 ] / 2  =

3√2  +  3

So

OK   =    OC  -  KC  =    [ 3√2 + 3 ]  - 3√2   =    3   Jan 1, 2020
#2
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That is truly a complicated answer. 