help

First term =1, Common difference =1/3, Number of terms = 34. Here are the terms:

(1, 1.333333333, 1.666666667, 2, 2.333333333, 2.666666667, 3, 3.333333333, 3.666666667, 4, 4.333333333, 4.666666667, 5, 5.333333333, 5.666666667, 6, 6.333333333, 6.666666667, 7, 7.333333333, 7.666666667, 8, 8.333333333, 8.666666667, 9, 9.333333333, 9.666666667, 10, 10.33333333, 10.66666667, 11, 11.33333333, 11.66666667, 12).

The 34th term = 12

The common ratio of the geometric sequence =3

Nth term=F + D*(N - 1), where F=First term, D=Common difference, N=Number of terms

The 4th term in the geometric sequence =3 * 12 =36

36=1 + 1/3*(N - 1), solve for N

N = 106th term.

So, the 4th term of the geometric sequence, or 36, appears as 106th term in the arithmetic sequence.

We know that

1 + d =  a           (1)

1 + 9d = ar         (2)

1 + 33d = ar^2    (3)

Subbing (1) into (2) we have that

1 + 9d = (1 + d)r   ⇒    r =  (1 + 9d) / ( 1 + d)      (4)

Sub  (1) and  (4)  into (3)

1 + 33d  =  (1 + d)  (1 + 9d)^2 / (1 + d)^2      simplify

1 + 33d =  (1 + 9d)^2 / (1+ d)

(1 + d) (1 + 33d) = (1 + 9d)^2      simplify

33d^2 + 34d + 1 = 81d^2 + 18d + 1

48d^2 - 16d  = 0

16d ( 3d - 1) = 0

Setting both factors to 0 and solving for d  produces d = 0  (reject) or  d = 1/3  (accept)

And    1 + d = a      .....so.....1 + 1/3 = a  = 4/3

And 1 + 9d = ar   

1 + 9(1/3) = (4/3)r  

1 + 3 =  (4/3)r

4 = (4/3)r

r = 3

So....the 34th term   of the arithmetic series  =   1 + 33d   =   1 + 33(1/3)  = 1 + 11 =  12

The fourth term in the geometric sequence above appears as the nth term in the arithmetic sequence. Find the value of n.

The 4th term of the geometric series is   = ar^3  =   (4/3)(3)^3 = 36

So....to find which term this is in the aritmetic series, we have

36 = 1 + (1/3)(n - 1)

35 = (1/3)(n - 1)

105 = n - 1

106 = n