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How many angles \(\theta\in[0,2\pi]\) satisfy the equation \(\sin(\theta)+\sin(3\theta) = -\cos(\theta)+\cos(3\theta) ?\)

 Oct 28, 2019
 #1
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sin x + sin (3x)   =  -cos x  + cos (3x)

 

sinx  + sin2xcosx + sinxcos2x  = - cosx  + cos2xcosx - sin2xsin x

 

(sinx  + cosx )  =   - sin2x( six + cosx)  + cos2x (cosx - sin x)

 

(sinx + cosx)  = -2sinxcosx (sin x + cosx)  + (cosxcosx - sinxsinx)(cosx - sinx)

 

(sin x + cosx)  = -2sin^2xcosx - 2sinxcos^2x + cos^3x - sinxcos^2x  - sin^2xcosx + sin^3x

 

sin x + cosx  =  = -3sin^2xcosx - 3cos^2x sinx  +cos^3x + sin^3x

 

sin x + cosx  =  -3(1 - cos^2x)cosx  - 3(1- sin^2x)sinx  + cos^3x + sin^3x

 

sinx + cosx  = -3cosx+ 3cos^3x - 3sinx + 3sin^3x  + cos^3x + sin^3x

 

sin x + cos x  = -3(sinx + cos x)  + 4cos^3x + 4sin^3x

 

4 (sin x + cos x)  = 4 (sin^3x + cos^3x)       divide both sides by 4

 

sin x + cos x =  sin^3x + cos^3x            factor the right side as a sum of cubes

 

(sin x + cos x)  = (sin x + cos x) (sin^2x  - sinxcosx + cos^2x)

 

(sin x + cosx) =  (sin x + cosx) ( 1 - sin xcosx)

 

(sin x + cosx) (1 - sin xcosx - 1)  =  0

 

(sin x + cos x) ( -sin x cosx )  =  0

 

So

 

sin x + cosx  =  0                      and           -sinx cosx  = 0

x  =  3pi/4   or  7pi/4                                   sinx cos x   = 0                                                       

                                                              x  =  0   or   x   =  pi/2   or  x  = pi  or  x  = 3pi/2  or  x  = 2pi

 

 

 

cool cool cool   

 Oct 28, 2019
 #2
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+2

f(x)=sin(x)+sin(3x)+cos(x)-cos(3x)

laugh

 Oct 28, 2019

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