+0

# Inequality question

0
150
1

For what real values of x is -4 < x^4 + 4x^2 < 21 + 6x^2 satisfied? Express your answer in interval notation.

Apr 24, 2022

#1
-1

We have two  inequalities

x^4  + 4x^2  >   -4                            also          x^4  + 4x^2  <  6x^2 + 21

x^4 + 4x^2  + 4 >  0                                          x^4 - 2x^2 - 21   <  0            complete the square on x

(x^2 + 2)^2   > 0                                                x^4  - 2x^2  + 1  - 21  - 1  <  0

x^2  + 2  is >  0  for all x                                   (x^2 - 1)^2 - 22 <  0

(x^2 - 1)^2  <  22

x^2 - 1  <  ±sqrt (22)

So

x^2 - 1  <  sqrt (22)                 and          x^2  - 1  <   -sqrt (22)

x^2  <   sqrt (22)  + 1                              x^2  <    1  -sqrt 22

x <  sqrt  [ sqrt (22) + 1 ]                            x  <  sqrt [ 1 -sqrt (22 ]     not a real number

x  >  - sqrt  [ sqrt (22) + 1]                          x >  - sqrt [ 1 -sqrt (22) ]  not a real number

The most  restrictive interval is

x   =  (  -sqrt [  sqrt(22) + 1 ]   , sqrt [ sqrt (22) + 1 ]  )   Apr 24, 2022