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Given positive integers x and y such that x is not equal to y  and 1/x + 1/y = 1/20, what is the smallest possible value for x + y ?

 Dec 20, 2020
 #1
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The smallest x and y are:

 

x = 36   and   y =45

 

x  +  y =36  +  45==81

 Dec 20, 2020
 #2
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+1

It should be  noted that  x, y  must both be larger than 20

Let     20  = z   , x = z + a    and  y = z + b

 

So we have this

 

1/ ( z + a)   +  1/(z + b)  = 1  / z

 

(z + b)  + ( z + a)                       1

_________________ =         ____

  z^2  + az + bz + ab                   z

 

 

2z  +  a + b                               1

_______________     =         ____     cross-multiply

z^2 + az + bz +ab                    z

 

2z^2 + az + bz     =  z^2 + az + bz + ab

 

z^2  =    ab

 

So  400  = ab

 

Smallest two factors of 400  added together is   25  and  16

 

The smallest possible  value  for  x + y  is   20 + 25  = 45    and  20 + 16 = 36

 

So....the smallest  sum for x +  y  =  45 + 36 =   81

 

 

cool cool cool

 Dec 20, 2020

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