log problem

log₃(x + 7)  <  log₉(x² + 77)

 

Using the change-of-base formula:

 

                 [ log(x + 7) / log(3) ]  <  [ log(x² + 77) / log(9) ]

     [ log(x + 7) / log(3) ] · log(9)  <  log(x² + 77)                [multiply both sides by log(9)]

   [ log(x + 7) / log(3) ] · log(3²)  <  log(x² + 77)                [change 9 into 3²]

[ log(x + 7) / log(3) ] · 2 · log(3)  <  log(x² + 77)               [use property of logs]

                         [ log(x + 7) ] · 2  <  log(x² + 77)               [cancel the log(3) factors]

                             2 · log(x + 7)  <  log(x² + 77)               [rewrite]

                                log(x + 7)²  <  log(x² + 77)                [use property of logs]

                                     (x + 7)²  < x² + 77                        [raisee both sides to power of 10]

                            x² + 14x + 49  <  x² + 77                       [multiply out]

                                   14x + 49  <  77

                                           14x  <  28

                                               x  <  2