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# need help with system

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Solve

xy + x + y = 23

yz + y + z = 31

zx + z + x = 47

in real numbers.

Jan 9, 2021

#1
+2

xy + x + y = 23

yz + y + z = 31

zx + z + x = 47

Probably a better way to do this....but, anyway

xy + y =  23 -x                  zx  + z  =  47 - x

y ( x + 1)  =  23 -x            z ( x + 1)  =  47-x

y = (23 -x)  / (x + 1)          z =  (47 - x) / ( x + 1)

yz  +  y +  z =   31

( 23-x) /( x + 1)  ( 47 - x)/ (x + 1)   +  (23- x)/(x+1)  + (47 -x) /(x + 1)  =   31

Multiply  through  by (x + 1)^2

(23 - x)  ( 47 - x)  + (23 - x)(x + 1)  + (47 - x) ( x + 1)   =31 ( x + 1)^2

x^2 - 70x + 1081  -x^2 +22x + 23  -x^2 + 46x + 47  =  31x^2  + 62x + 31    simplfify  as

32x^2 + 64x  -1120   =  0     divide through  by 32

x^2  + 2x  -  35   =   0   factor

(x  + 7) ( x -5)   = 0

Set both  factors to   0  , solve for  x

x = -7     y = (23 -  -7)/( -7 + 1)   =   30/-6 =  -5     z =  (47 - -7 ) /(-7 + 1)  =  54/ -6  =  -9

x =   5    y  = ( 23 - 5) / (5 + 1)  =  18/6 =  3         z = (47 - 5)/(5 + 1)  = 42/6   =7

So

{ x, y , z}  =  { -7, -5, -9)    or   { 5, 3, 7}   Jan 9, 2021