need help with this

I think there is a  more ingenious  way to solve this.....but....by brute force  ......

x + 1/x   = sqrt (3)

x^2  + 1  =  sqrt (3)  x

x^2  - sqrt (3) x   =  -1

x^2  -  sqrt (3) x  +  3/4  =  -1 + 3/4

(x  + sqrt (3) /2) ^2   =  -1/4        {take the  positive  root  since  x + 1/x   is positive}

x - sqrt (3)/2  =      (1/2) i

x =   sqrt (3/2)  +  (1/2)i

x^3   =   (sqrt (3)/2  + (1/2) i)^3  = 

((1/2)  (sqrt (3)  + i)^3       {binomial expansion  of terms in the parentheses }

(1/8) ( 3sqrt (3)  +  3[sqrt (3)]^2 i  + 3sqrt (3)i^2   + i^3)   =

(1/8)  ( 3sqrt (3)  + 9i   - 3sqr (3)  -  i)   =

(1/8)  ( 8i)   =      i

i  =   x

i^18   =   i^2  =    -1

i^12  =     1

i^6  =  -1

So

i^18   +   i^12  +  i^6   +  1   =

-1    +     1      -     1     +   1   =     0