+0  
 
0
98
1
avatar

If $x$ +$\frac{1}{x}$ = $\sqrt{3}$, then find the value of $x^{18}$ + $x^{12}$ + $x^6$ +1.

 Jan 30, 2021
 #1
avatar+120023 
+1

I think there is a  more ingenious  way to solve this.....but....by brute force  ......

 

x + 1/x   = sqrt (3)

 

x^2  + 1  =  sqrt (3)  x

 

x^2  - sqrt (3) x   =  -1

 

x^2  -  sqrt (3) x  +  3/4  =  -1 + 3/4

 

(x  + sqrt (3) /2) ^2   =  -1/4        {take the  positive  root  since  x + 1/x   is positive}

 

x - sqrt (3)/2  =      (1/2) i

 

x =   sqrt (3/2)  +  (1/2)i

 

x^3   =   (sqrt (3)/2  + (1/2) i)^3  = 

 

((1/2)  (sqrt (3)  + i)^3       {binomial expansion  of terms in the parentheses }

 

(1/8) ( 3sqrt (3)  +  3[sqrt (3)]^2 i  + 3sqrt (3)i^2   + i^3)   =

 

(1/8)  ( 3sqrt (3)  + 9i   - 3sqr (3)  -  i)   =

 

(1/8)  ( 8i)   =      i

 

i  =   x

 

i^18   =   i^2  =    -1

i^12  =     1

i^6  =  -1

 

 

So

 

i^18   +   i^12  +  i^6   +  1   =

 

-1    +     1      -     1     +   1   =     0 

 

 

cool cool cool

 Jan 31, 2021
edited by CPhill  Jan 31, 2021
edited by CPhill  Jan 31, 2021

17 Online Users

avatar