+0  
 
-1
65
2
avatar+145 

Find the remainder when \(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}\) is divided by 7.

 Jan 31, 2021
 #1
avatar
0

sumfor(n, 1, 100, 2^(n-1))==1 2676506002 2822940149 6703205375 mod 7==1

 Jan 31, 2021
 #2
avatar+116126 
+1

1 +  2  + 2^2   +  2^3  + 2^4  + 2^5   + 2^6  + 2^7 + 2^8  + ...... + 2^100   =

 

( 1 + 2 + 2^2)  + 2^3  ( 1 + 2 + 2^2)  + 2^6 ( 1 + 2 + 2^2)  +  ........ + 2^96 + 2^97 + 2^98+ 2^99 + 2^100    =

 

(  7)   +  8(7)   +  64 ( 7)  +  ...... +  2^96 ( 1 + 2 + 2^2) + 2^99 + 2^100

 

7  +  8(7)  +  64 (7)  +.........+   2^96 ( 7)   +  2^99 + 2^100

 

Every factorization  is divisible  by  7

 

Looking at the last two terms

 

Note   that      2^99  + 2^100  =   2^99 ( 1 +2)  =   3 * 2^99  =   3 * (2^3)^33

 

And

 

2^3  mod 7  =1

 

So

 

(2^3)^33 mod 7   = 1

 

So

 

3 *  (2^3)^33  mod 7    =

 

3 (1)   =  3  =   the remainder

 

 

cool cool cool

 Jan 31, 2021

53 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar
avatar
avatar