Let S = 1!2!...100!. Prove that there exists a unique positive integer "k" such that S/k! is a perfect square.
+23246 100! · 99! · 98! · ... · 3! · 2! · 1!
= [100! · 99!] · [98! · 97!] · ... · [4! · 3!] · [2! · 1!]
= [100 · 99! · 99!] · [98 · 97! · 97!] · ... [4 · 3! · 3!] · [2 · 1! · 1!]
= [100 · 99!2] · [98 · 97!2] · ... · [4 · 3!2] · [2 · 1!2]
= [100 · 98 · 96 ·... · 6 · 4 · 2] · [99!2 · 97!2 · ... · 3!2 · 1!2]
= 250[50 · 49 · 48 · ... · 3 · 2 · 1] · [99!2 · 97!2 · ... · 3!2 · 1!2]
= 250 · [50!] · [99!2 · 97!2 · ... · 3!2 · 1!2]
So, if you let k! = 50!, the result will be a perfect square (because 250 and [99!2 · 97!2 · ... · 3!2 · 1!2] are perfect squares)
but I can't guarantee that it is unique.
