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Given positive integers x and y such that x does not equal y and 1/x + 1/y = 1/28 , what is the smallest possible value for x+y ?

 Jan 14, 2021
 #1
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x, y  must  be >  28

 

Let z =  28

Let  x  = z + a

Let y = z + b       so we have

 

1/ (z + a)  +  1/ ( z + b)   =  1/z

 

(z + b + z + a)  / ( z^2 + az + bz + ab)  =  1/z    

 

( 2z + a + b)  /  ( z^2  + az + bz + ab)  = 1/z          cross-multiply

 

z( 2z  + a + b)  =  z^2  + az +bz +  ab

 

2z^2 + az + bz  = z^2 + az + bz  + ab

 

z^2  =  ab

 

28^2  = ab

 

784 = ab

 

Factors of 784   =    ± [1,2,4,7,8,14,16,28,49,56, 98,112,196, 392,784]

 

ab = 784*1   or    (-784) (-1)

Largest   value  of  a + b  =   784  +  1

Smallest value of  a + b  =  -784 - 1

 

x = z +  a   =    28  + (-784)  =  -756

y  = z + b =     28  + (-1)  = 27

 

Smallest value of  x + y   =  -756 + 27   =   -729

 

cool cool cool

 Jan 14, 2021

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