+0  
 
0
177
7
avatar

1) For all ordered pairs of positive integers (x,y), we define f(x,y) as follows:

(a) f(x,1) = x. 

(b) f(x,y) = 0 if y > x. 

(c) f(x + 1,y) = y[f(x,y) + f(x,y - 1)]. 

Compute (5,5).

 

2) For each positive integer p, let b(p) denote the unique positive integer k such that \(|k-\sqrt{p}|<\frac{1}{2}\). For example, b(6)=2 and b(23)=5. Find \(S=\sum_{p=1}^{2007} b(p).\)

 Jul 12, 2019
 #1
avatar+8848 
+5

1)  ( Assuming you meant compute f(5,5) )

 

f(5, 5)   =   f(4 + 1, 5)   =   5[ f(4, 5) + f(4, 5 - 1) ]   =   5[ 0 + f(4, 4) ]   =   5[ f(4, 4) ]  
f(4, 4)   =   f(3 + 1, 4)   =   4[ f(3, 4) + f(3, 4 - 1) ]   =   4[ 0 + f(3, 3) ]   =   4[ f(3, 3) ]

 

 

f(3, 3)   =   f(2 + 1, 3)   =   3[ f(2, 3) + f(2, 3 - 1) ]   =   3[ 0 + f(2, 2) ]   =   3[ f(2, 2) ]  
f(2, 2)   =   f(1 + 1, 2)   =   2[ f(1, 2) + f(1, 2 - 1) ]   =   2[ 0 + f(1, 1) ]   =   2[ f(1, 1) ]

 

 

f(1, 1)   =   1  
f(2, 2)   =   2[ f(1, 1) ]   =   2[ 1 ]   =   2

 

 

f(3, 3)   =   3[ f(2, 2) ]   =   3[ 2 ]   =   6  
f(4, 4)   =   4[ f(3, 3) ]   =   4[ 6 ]   =   24

 

 

f(5, 5)   =   5[ f(4, 4) ]   =   5[ -24- ]   =   120  
 Jul 12, 2019
 #2
avatar+8848 
+5

2)  This one is tricky but here's my attempt...

 

I started by making this list:

 

b(1)_ = _1
b(2)=1
b(3)=2
b(4)=2
b(5)=2
b(6)=2
b(7)=3
b(8)=3
b(9)=3
b(10)=3
b(11)=3
b(12)=3
b(13)=4
b(14)=4
b(15)=4
b(-16-)=4

.

.

.

    
b(1980)=44
b(1981)=45
b(1982)=45
b(1983)=45
b(1984)=45
b(1985)=45
b(1986)=45
b(1987)=45
b(1988)=45
b(1989)=45
b(1990)=45
b(1991)=45
b(1992)=45
b(1993)=45
b(1994)=45
b(1995)=45
b(1996)=45
b(1997)=45
b(1998)=45
b(1999)=45
b(2000)=45
b(2001)=45
b(2002)=45
b(2003)=45
b(2004)=45
b(2005)=45
b(2006)=45
b(2007)=45

 

By now we can notice something...

 

b(7)  =  3   because 7  is closer to  9  than  4,  and
b(12)  =  3   because 12  is closer to  9  than  16

 

Between  4  and  9 ,  there are  4  numbers and  4/2  =  2

 

Between  9  and  16  there are  6  numbers and  6/2  =  3

 

So the number of 3's   =  1 + 2 + 3   =   6

 

We can backtrack the previous steps to get...

 

the number of 3's   =   \(1+\frac{4}{2}+\frac62\ =\ 1+\frac{9-4-1}{2}+\frac{16-9-1}{2}\ =\ 1+\frac{3^2-(3-1)^2-1}{2}+\frac{(3+1)^2-3^2-1}{2}\)

 

So in general,

 

the number of  n's   =   \(1+\frac{n^2-(n-1)^2-1}{2}+\frac{(n+1)^2-n^2-1}{2}\)     which simplifies to...

 

the number of n's   =   2n

 

This agrees with the list from earlier!!! laughlaugh

 

Except the number of  45's  is only  27  because the list ends at  b(2007)

 

\(\sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+b(5)+b(6)+b(7)+\dots+b(2006)+b(2007)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 1+1+2+2+2+2+3+\dots+45+45\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 2(1)+4(2)+6(3)+\dots+88(44)+27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ \sum\limits_{k=1}^{44}(2k)(k)\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ \sum\limits_{k=1}^{44}(2k)(k)\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 2\sum\limits_{k=1}^{44}k^2\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 2(\frac{44(44+1)(2(44)+1)}{6})\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 58740\quad+\ 1215\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 59955 \)

 

 

P.S. There definitely might be a better way to do it... smiley

 Jul 12, 2019
 #3
avatar+106535 
+1

WOW!!!....that's an impressive answer for that last one  !!!!

 

 

cool cool cool

CPhill  Jul 13, 2019
 #5
avatar+8848 
+4

Thank you!! laughsmiley

hectictar  Jul 13, 2019
 #4
avatar
+2

Here is a short computer code to verify what hetictar got by summing them up th hard way!

 

a=1; b=1; c=2007;p=0;d=(abs(a - sqrt b);f=if(abs d < 1/2, goto6, goto8);printa;p=p+a; b++; if(b<=c,goto4,0);b=1;a++;if(a<=c, goto4,0);printp

 

Sum total =59,955

 Jul 13, 2019
 #6
avatar+8848 
+5

Thanks guest, that is reassuring!! smiley

hectictar  Jul 13, 2019
 #7
avatar
+1

Just in case anybody wants to see the entire list of integers, here it is (all 2007 integers)! :

 

1  1  2  2  2  2  3  3  3  3  3  3  4  4  4  4  4  4  4  4  5  5  5  5  5  5  5  5  5  5  6  6  6  6  6  6  6  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45 =>>  2007 terms =Sum total = 59,955

 Jul 13, 2019

43 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar