We use cookies to personalise content and advertisements and to analyse access to our website. Furthermore, our partners for online advertising receive pseudonymised information about your use of our website. cookie policy and privacy policy.
 
+0  
 
0
69
7
avatar

1) For all ordered pairs of positive integers (x,y), we define f(x,y) as follows:

(a) f(x,1) = x. 

(b) f(x,y) = 0 if y > x. 

(c) f(x + 1,y) = y[f(x,y) + f(x,y - 1)]. 

Compute (5,5).

 

2) For each positive integer p, let b(p) denote the unique positive integer k such that \(|k-\sqrt{p}|<\frac{1}{2}\). For example, b(6)=2 and b(23)=5. Find \(S=\sum_{p=1}^{2007} b(p).\)

 Jul 12, 2019
 #1
avatar+8579 
+3

1)  ( Assuming you meant compute f(5,5) )

 

f(5, 5)   =   f(4 + 1, 5)   =   5[ f(4, 5) + f(4, 5 - 1) ]   =   5[ 0 + f(4, 4) ]   =   5[ f(4, 4) ]  
f(4, 4)   =   f(3 + 1, 4)   =   4[ f(3, 4) + f(3, 4 - 1) ]   =   4[ 0 + f(3, 3) ]   =   4[ f(3, 3) ]

 

 

f(3, 3)   =   f(2 + 1, 3)   =   3[ f(2, 3) + f(2, 3 - 1) ]   =   3[ 0 + f(2, 2) ]   =   3[ f(2, 2) ]  
f(2, 2)   =   f(1 + 1, 2)   =   2[ f(1, 2) + f(1, 2 - 1) ]   =   2[ 0 + f(1, 1) ]   =   2[ f(1, 1) ]

 

 

f(1, 1)   =   1  
f(2, 2)   =   2[ f(1, 1) ]   =   2[ 1 ]   =   2

 

 

f(3, 3)   =   3[ f(2, 2) ]   =   3[ 2 ]   =   6  
f(4, 4)   =   4[ f(3, 3) ]   =   4[ 6 ]   =   24

 

 

f(5, 5)   =   5[ f(4, 4) ]   =   5[ -24- ]   =   120  
 Jul 12, 2019
 #2
avatar+8579 
+3

2)  This one is tricky but here's my attempt...

 

I started by making this list:

 

b(1)_ = _1
b(2)=1
b(3)=2
b(4)=2
b(5)=2
b(6)=2
b(7)=3
b(8)=3
b(9)=3
b(10)=3
b(11)=3
b(12)=3
b(13)=4
b(14)=4
b(15)=4
b(-16-)=4

.

.

.

    
b(1980)=44
b(1981)=45
b(1982)=45
b(1983)=45
b(1984)=45
b(1985)=45
b(1986)=45
b(1987)=45
b(1988)=45
b(1989)=45
b(1990)=45
b(1991)=45
b(1992)=45
b(1993)=45
b(1994)=45
b(1995)=45
b(1996)=45
b(1997)=45
b(1998)=45
b(1999)=45
b(2000)=45
b(2001)=45
b(2002)=45
b(2003)=45
b(2004)=45
b(2005)=45
b(2006)=45
b(2007)=45

 

By now we can notice something...

 

b(7)  =  3   because 7  is closer to  9  than  4,  and
b(12)  =  3   because 12  is closer to  9  than  16

 

Between  4  and  9 ,  there are  4  numbers and  4/2  =  2

 

Between  9  and  16  there are  6  numbers and  6/2  =  3

 

So the number of 3's   =  1 + 2 + 3   =   6

 

We can backtrack the previous steps to get...

 

the number of 3's   =   \(1+\frac{4}{2}+\frac62\ =\ 1+\frac{9-4-1}{2}+\frac{16-9-1}{2}\ =\ 1+\frac{3^2-(3-1)^2-1}{2}+\frac{(3+1)^2-3^2-1}{2}\)

 

So in general,

 

the number of  n's   =   \(1+\frac{n^2-(n-1)^2-1}{2}+\frac{(n+1)^2-n^2-1}{2}\)     which simplifies to...

 

the number of n's   =   2n

 

This agrees with the list from earlier!!! laughlaugh

 

Except the number of  45's  is only  27  because the list ends at  b(2007)

 

\(\sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+b(5)+b(6)+b(7)+\dots+b(2006)+b(2007)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 1+1+2+2+2+2+3+\dots+45+45\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 2(1)+4(2)+6(3)+\dots+88(44)+27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ \sum\limits_{k=1}^{44}(2k)(k)\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ \sum\limits_{k=1}^{44}(2k)(k)\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 2\sum\limits_{k=1}^{44}k^2\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 2(\frac{44(44+1)(2(44)+1)}{6})\quad+\ 27(45)\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 58740\quad+\ 1215\\~\\ \sum\limits_{p=1}^{2007}b(p)\ =\ 59955 \)

 

 

P.S. There definitely might be a better way to do it... smiley

 Jul 12, 2019
 #3
avatar+102399 
+1

WOW!!!....that's an impressive answer for that last one  !!!!

 

 

cool cool cool

CPhill  Jul 13, 2019
 #5
avatar+8579 
+3

Thank you!! laughsmiley

hectictar  Jul 13, 2019
 #4
avatar
+2

Here is a short computer code to verify what hetictar got by summing them up th hard way!

 

a=1; b=1; c=2007;p=0;d=(abs(a - sqrt b);f=if(abs d < 1/2, goto6, goto8);printa;p=p+a; b++; if(b<=c,goto4,0);b=1;a++;if(a<=c, goto4,0);printp

 

Sum total =59,955

 Jul 13, 2019
 #6
avatar+8579 
+3

Thanks guest, that is reassuring!! smiley

hectictar  Jul 13, 2019
 #7
avatar
+1

Just in case anybody wants to see the entire list of integers, here it is (all 2007 integers)! :

 

1  1  2  2  2  2  3  3  3  3  3  3  4  4  4  4  4  4  4  4  5  5  5  5  5  5  5  5  5  5  6  6  6  6  6  6  6  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  9  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  11  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  12  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  13  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  14  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  17  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  18  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  19  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  21  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  22  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  23  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  24  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  25  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  26  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  27  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  28  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  29  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  30  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  31  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  32  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  33  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  34  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  35  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  36  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  37  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  38  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  39  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  40  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  41  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  42  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  43  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  44  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45  45 =>>  2007 terms =Sum total = 59,955

 Jul 13, 2019

17 Online Users

avatar