+0  
 
+1
122
1
avatar

Given positive integers $x$ and $y$ such that $x\neq y$ and $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18}$, what is the smallest possible value for $x + y$?

 Feb 1, 2021
 #1
avatar+120287 
+1

Let  18 = z

 

Let  x =   z + a          and       y =   z + b

 

So  we have

 

1/ (z + a) +  1/ (z + b)  =   1   /  z                

 

(2z + a + b)  /  [ (z + a) (z + b) ] =     1  / z           cross-multiply

 

(2z  +  a  +  b)  z =   (z + a) ( z + b)

 

2z^2  + az + bz  =  z^2  + az + bz   +  ab

 

z^2  =   ab

 

Which  means that   18^2 =   ab   =    324

 

a      b                 x =  z + a             y =  z  +  b

1    324                 19                         342

2    162                  20                        180

3    108                  21                         126

4     81                   22                         99

6    54                    24                         72

9    36                    27                         54

12  27                    30                         45

 

Smallest  value  of x  +  y =   30  +  45   =  75

 

 

cool cool cool

 Feb 1, 2021

9 Online Users

avatar
avatar