+0  
 
0
141
2
avatar

The sum 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.

 

What is the value of 21^2 + 22^2 + 23^2 + ... + 40^2 + 41^2 + 42^2?

 Dec 18, 2021
 #1
avatar
0

What is the value of 21^2 + 22^2 + 23^2 + ... + 40^2 + 41^2 + 42^2==22,715

 Dec 19, 2021
 #2
avatar+23186 
+2

Using the formulas:  1 + 2 + ... + n  =  (n(n + 1)/2  and  12 + 22 + ... + n2  =  n(n + 1)(2n + 1)/6

 

to find the value of:  212 + 222 + ... + 412 + 422:

 

Note that there are 22 addends.

 

212 + 222 + ... + 412 + 422  =

(20 + 1)2  +  (20 + 2)2  +  (20 + 21)2  + (20 + 22)2

 

Using the binomial expansion:

 

=  ( 202 + 2·20·1 + 12 )  +  ( 202 + 2·20·2 + 22​ )  +  ...  +  ( 202 + 2·20·21 + 212​ )  +  ( 202 + 2·20·22 + 222​ )

 

Rearranging:

 

=  [ 202 + 202 + ... + 202 + 202 ]  +  [ 2·20·1 + 2·20·2 + ... + 2·20·21 + 2·20·22 ]  +  [ 12 + 22​ + ... + 212​ + 222​ ]

 

=   22[ 202 ]  +  [ 2·20·1 + 2·20·2 + ... + 2·20·21 + 2·20·22 ]  +  [ 12 + 22​ + ... + 212​ + 222​ ]

 

=  8800  +   [ 2·20·1 + 2·20·2 + ... + 2·20·21 + 2·20·22 ]  +  [ 12 + 22​ + ... + 212​ + 222​ ]

 

=  8800  +  40 · [ 1 + 2 + ... + 21 + 22 ]  +  [ 12 + 22​ + ... + 212​ + 222​ ]

 

=  8800  +  40 · [ 22(1 + 22)/2 ]  +  [ 12 + 22​ + ... + 212​ + 222​ ]

 

=  8800  +  40 · [ 253 ]  +  [ 12 + 22​ + ... + 212​ + 222​ ]

 

=  8800  +  10120  +  [ 12 + 22​ + ... + 212​ + 222​ ]

 

=  8800  + 10120  +  [ 22(22 + 1)(2·22 + 1)/6 ]

 

=  8800  +  10120  +  3795

 

=  22715

 Dec 19, 2021

16 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar
avatar