+0  
 
0
88
4
avatar

Hi I was wondering if anyone could help me with the following two problems, I got 675 for the first one but it was wrong:

 

1. Given \(a_0 = 1\) and \(a_1 = 5,\) and the general relation

\(a_n^2 - a_{n - 1} a_{n + 1} = (-1)^n\)
for \(n \ge 1,\) find \(a_3.\)

 

2. Evaluate the sum \(\dfrac{6}{3^2-1}+\dfrac{6}{5^2-1}+\dfrac{6}{7^2-1}+\dfrac{6}{9^2-1}+\cdots\)

 Mar 1, 2022
 #1
avatar+122390 
+1

2.      Note that we can express this in  a slightly different manner   :

 

We  can write

 

      6                                    6                                6                                        6                                                        

_____________   +    _____________   +     ______________   +  ... +  ____________

[2 (1) + 1]^2 - 1           [ 2(2) + 1]^2 -1              [ 2(3) + 1]^2 - 1                [2(n) + 1]^2 -1

 

Note  that

       6                           6                                  6                      3          [     1           1          ]

__________  =     ______________   =    __________  =   ____  *       ___  -   ____

(2n +1)^2 - 1         4n^2 + 4n + 1 - 1           4 (n^2 + n)            2          [     n         n + 1     ]

 

So  we  can write

 

(3/2)   [    1/ 1 -  1/ [ 1 + 1)   +    1/ 2  -  1 / (2 + 1)   +  1/3  -  1 ( 3 + 1) +  1/4 - 1/(4 + 1) +...+  1/n - 1/n+1)  ] =

 

(3/2)  [   1  - 1/2  + 1/2   - 1/3  + 1/3  - 1/4  + 1/4 - 1/5 + ..... + 1/n  - 1/(n+1)  ]   =  

 

(3/2)   [  1    -    1 / ( n + 1)  ]  

 

As  n approaches some  "large"  number,   1/ ( n + 1)     approaches  0

 

So.....the sum  is

 

(3/2)  [  1  +  0 ] =

 

(3/2) [ 1 ]  =

 

3/2

 

 

cool cool cool

 Mar 2, 2022
 #3
avatar
0

Thanks!

Guest Mar 2, 2022
 #2
avatar+1382 
+2

I will take a shot at 1. 

 

Subsitute 1 as n. 


This gives: \(5^2-1 \times a_2 = -1^1\)

 

Solving for the unknown, we find \(a_2 = 26\)

 

Subsituting 2 for n, we get: \(26^2-5a_3=-1^2\)

 

Solving for the unknown again, we find \(\color{brown}\boxed{a_3=135}\)

 Mar 2, 2022
 #4
avatar
0

Thanks so much!

Guest Mar 2, 2022

33 Online Users

avatar