+0

# this is very confuzzling

0
113
1

The system of equations $$\frac{xy}{x + y} = 1, \quad \frac{xz}{x + z} = 2, \quad \frac{yz}{y + z} = 3$$
has exactly one solution. What is  in this solution?

Jun 4, 2020

#1
+1

Flip each of the equations:

1)  (xy) / (x + y)  =  1     --->     (x + y) / (xy)  =  1

2)  (xz) / (x + z)  =  2     --->     (x + z) / (xz)  =  1/2

3)  (yz) / (y + z)  =  3     --->     (y + z) / (yz)  =  1/3

Rewrite each equation:

1)  (x + y) / (xy)  =  1        --->     x / (xy) + y / (xy)  =  1        --->    1 / y + 1 / x  =  1

2)  (x + z) / (xz)  =  1/2     --->     x / (xz) + z / (xz)  =  1/2     --->     1 / z + 1 / x  =  1/2

3)  (y + z) / (yz)  =  1/3     --->     y / (yz) + z / (yz)  =  1/3     --->     1 / z + 1 / y  =  1/3

Combining  1)  and  2):     1 / y + 1 / x  =  1

subtract:                        1 / z + 1 / x  =  1/2

1 / y - 1 / z  =  1/2                      (equation 4)

Combining  4)  and  3):     1 / y  - 1 / z  =  1/2

add:                               1 / z + 1 / y  =  1/3

2 / y  =  5/6

solving:                                        y  =  12/5

Now, substitute this back into equation  1)  to find x  and into equation  3)  to find z.

Jun 5, 2020