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In square ABCD, P  is on BC such that  BP = 4 and PC = 1,  and Q  is on line CD  such that DQ = 4  and QC = 1.  Find \(\sin \angle PAQ.\)

 Sep 6, 2023
 #1
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+1

A                               B

                                 4                               

                               

                                 P

                                 1                       

D      4       Q     1     C

 

Let  A = (0, 5)

P = (5 , 1)

Q = (4,0)

 

AP  = sqrt [  5^2 + 4^2 ] =  sqrt (41)

AQ = sqrt [ 4^2 + 5^2 ] = sqrt (41)

PQ = sqrt [ 1^2 + 1^2)  = sqrt (2)

 

Using the Law of Cosines

 

PQ^2  =  AQ^2 + AP^2 - 2 ( AQ * AP) cos (PAQ)

 

 2  = 41 + 41  - 2 ( sqrt 41 * sqrt 41) cos (PAQ)

 

[ 2 - 41 -41 ]  / [ -2 * sqrt 41 * sqrt 41 ] =  cos PAQ

 

-80 / [- 2 * 41]  = cos PAQ

 

80 / 82  = 40 / 41  =  cos PAQ

 

sin PAQ   =  sqrt  [ 41^2  - 40^2 ] / 41  =  sqrt (81) / 41  =  9 / 41

 

cool cool cool

 Sep 6, 2023
 #2
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+1

Thank you!

 Sep 6, 2023

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