Two identical circles touch at the point P(9,3)

x^2  + y^2  - 10x  - 6y  + 18  = 0    complete the  square  on x, y

x^2  - 10y + 25  + y^2 - 6y + 9  =   -18  + 25 + 9      simplify

(x - 5)^2  +  ( y - 3)^2  =  16

The  center of this circle is   ( 5 , 3)    and the radius is  4

Then if  the  circles touch at   (9,3)  and they are identical....then  this  will be  the midpoint of  both centers

So.....let  the  center of the other circle  be (h, k)..so we have 

[ 5 + h) / 2 =   9                  (3 + k) / 2  =  3 

5 + h  =  9*2                       3 + k  =   3*2

5 + h = 18                           3 + k  = 6

h  =13                                     k = 3

The equation of  the second circle  is   ( x  -13)^2  + ( y - 3)^2  = 16

Here's a graph  :  https://www.desmos.com/calculator/efoxyb9720