x=2^1/3+2^2/3 show x^3-6x-6=0

x  =  2^1/3 + 2^2/3     --->     x³ - 6x - 6  =  0

 

First, let's evaluate:  [ 2^1/3 + 2^2/3 ]³

 

 Notice that  [ a + b ]³  =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

The x³ part:     [ 2^1/3 + 2^2/3 ]³  =  [2^1/3]³ + 3·[2^1/3]²·[2^2/3] + 3·[2^1/3]·[2^2/3]² + [2^2/3]³

                                              =  2^3/3 + 3·[2^2/3]·[2^2/3] + 3·[2^1/3]·[2^4/3] + 2^6/3

                                              =  2 + 3·2^4/3 + 3·2^5/3 + 4

                                              =  6 + 3·2·2^1/3 + 3·2·2^2/3 

                                              =  6 + 6·2^1/3 + 6·2^2/3 

 

The 6x part:    6·[ 2^1/3 + 2^2/3 ]  =  6·2^1/3 + 6·2^2/3 

 

Thus:  x³ - 6x - 6  =  [ 6 + 6·2^1/3 + 6·2^2/3  ] - [ 6·2^1/3 + 6·2^2/3  ] - 6

                             =  6 + 6·2^1/3 + 6·2^2/3 - 6·2^1/3 - 6·2^2/3 - 6

                             =  0

x=2.8473221018630726395189199142257

x^3 - 6x - 6=0

(2.8473221)^3 - 6(2.8473221) - 6 =0

23.0839326 - 17.0839326 - 6 = 0

                    6 - 6 = 0