All Answers 352712 Answers

12.   x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Using synthetic division to find the remaining polynomial, we have

1 [ 1       - 2      -5      6 ]

                1      -1     -6

 __________________

     1        -1      -6     0

The remaining polynomial is    x^2  -  x  -  6    which factors as

( x - 3) ( x + 2)

So....the other two roots are    3    and - 2

 r  =  √ [ x^2 + y^2 ]  = √ [ ( -2)^2 + 9^2 ]  = √85

cos θ  =  -2 / √85   =  -2√85 / 85

1a + 2b  = 0

2b  =  -1a

b  =  (-1/2)a

The slope of this line is    (-1/2)....this line lies in the II and IV  quadrants...and since the cos < 0, then this must be a II quadrant angle so the sine must > 0

So.....find r  = √ [ x^2 + y^2 ]  = √  ] (-2)^2 + (1)^2 ]  =  √5

So....the sinθ  =  1/ √5  =  √5 / 5

We can use synthetic division for the first

- 2  [  -2     - 5       4      2   ]

                   4       2    -12

        __________________

        -2       -1      6    -10

The remainder is -10   so the third answer is correct

x^3  - 4x^2  + x +  26  = 0

-2  is one root

Use synthetic division to find the remaining polynomial

-2   [  1      - 4         1         26   ]

                 - 2        12       -26

      _______________________

         1      -6         13         0

The remaining polynomial is    x^2  - 6x  + 13

Complete the square on x  and we have

 x^2  - 6x +  9  =   -13 + 9

(x - 3)^2   =  -4             take both roots

x - 3 =    ±2i

x  =  3 ± 2i      are the other two roots     ...... first answer

x + y  =  0

y  =  -1x

Any point on this line in quadrant II will have the coordinates  (-a, a)....and this will be the terminal point on θ

So   tan θ =   a / -a  =   -1

(N - 6) / 4  +  10  =  30    subtract 10 from both sides

(N - 6) / 4   =  20            multiply both sides by 4

N - 6    =   80                 add 6 to both sides

N  =  86

(3p^2 + 5pq-q^2 )    + (p^2 + 3pq  - 2q^2 )   =

3p^2 + p^2 +  5pq + 3pq - q^2 - 2q^2 =

4p^2  +  8pq   - 3q^2  

27x^3  +  64            this is a difference of two cubes

( 3x +  4)   ( ( 3x)^2  - (3x * 4)  + 4^2)    =

(3x + 4)  (  9x^2  -  12x   +  16)

JKLM ~ WXYZ

So  JK ~  WX

So the scale factor  =  WX / JK

Scale Factor   =  18 / 12 =   3 / 2    =   1.5

First Position Number        +    _____    +      _______

       1                                          18                     1

       1                                          17                     2

       1                                          16                     3

       1                                          15                     4

       1                                          14                     5

       1                                          13                     6

       1                                          12                     7

       1                                          11                     8

       1                                          10                     9

       1                                          9                      10      (repeats from here)

      2                                          16                    2

      2                                          15                    3

      2                                          14                    4

      2                                          13                    5

      2                                          12                    6

      2                                          11                    7

      2                                          10                    8

      2                                            9                    9 

      2                                            8                  10      ( repeats from here)     

     3                                           14                    3

     3                                           13                    4

     3                                           12                    5

     3                                           11                    6

     3                                           10                    7

     3                                            9                     8

     3                                            8                     9      (repeats from here ) 

     4                                            12                   4

     4                                            11                   5

     4                                            10                   6

     4                                             9                    7

     4                                             8                    8

     4                                             7                    9       (repeats from here )   

     5                                           10                    5   

     5                                            9                     6

     5                                            8                     7

     5                                            7                     8     (repeats from here )

     6                                            8                     6

     6                                            7                     7

     6                                            6                     8    (repeats from here )

Everything else from this point forward is a repeat

So we have     9 + 8  + 6 + 5 + 3 + 2  =  17 + 11 + 5   =  33 possibilities

Thanks!!

We can find the scale factor as follows :

(8,2)  =   [  ( -8, 2) -  (4,2) ] * Scale Factor +  (4,2)

(8,2)  =   [ -12, 0] *Scale Factor  + (4, 2)

(8, 2) - (4, 2)   =  [ -12, 0 ] * Scale Factor

(4, 0) =  [ -12, 0 ] * Scale Factor

Scale Factor  =   (4/ -12)  =   -1/3

The inverse contains the points

 (-15.0), ( 0, 3), (3,9), (9,20)

So the original function contains the points

(0, -15), (3,0), (9,3), (20, 9)

So   f(9)  =   3

And    f(f(9)  =   f(3)      =    0

Just compare the ratios

    A                  B                    C 

80 / 105        90 / 120          75/100

16 / 21            3 / 4                3  / 4

B and C  have the same ratios......thus they are simiar

Δ DPL  ~ Δ AQZ

This is not a question, it is just a formula.

In how many ways can you write 20 as a sum of three counting numbers?

One Way: 1+18+1

Not a Way: 1+1+1+17

Anybody now how to solve this?

I assume in your case, there is only a recursive method:

Let P(n,k) is the number of partitions of a positive integer n into exactly k parts:

For instance, \(7 = 5+1+1=4+2+1=3+2+2\), so \(p(7,3) = 4\)

Formula:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline P(0,0) &=& 1 \\ P(n,0) &=& 0 \qquad n\ge 1 \\ P(n,1 )&=& 1 \\ P(n,n) &=& 1 \\ P(n,k) &=& P(n-k,k)+P(n-1,k-1) \qquad \text{ or } \qquad P(n+k,k) = \sum \limits_{j=1}^{k}P(n,j) \\ \hline \end{array} \)

In how many ways can you write 20 as a sum of three counting numbers?

p(20,3) = 33

P(n,k):

p(n,k):

n = 1 -------------------------

p(1,1) = 1

n = 2 -------------------------

p(2,1) = 1

p(2,2) = 1

n = 3 -------------------------

p(3,1) = 1

p(3,2) = 1

p(3,3) = 1

n = 4 -------------------------

p(4,1) = 1

p(4,2) = 2

p(4,3) = 1

p(4,4) = 1

n = 5 -------------------------

p(5,1) = 1

p(5,2) = 2

p(5,3) = 2

p(5,4) = 1

p(5,5) = 1

n = 6 -------------------------

p(6,1) = 1

p(6,2) = 3

p(6,3) = 3

p(6,4) = 2

p(6,5) = 1

p(6,6) = 1

n = 7 -------------------------

p(7,1) = 1

p(7,2) = 3

p(7,3) = 4

p(7,4) = 3

p(7,5) = 2

p(7,6) = 1

p(7,7) = 1

n = 8 -------------------------

p(8,1) = 1

p(8,2) = 4

p(8,3) = 5

p(8,4) = 5

p(8,5) = 3

p(8,6) = 2

p(8,7) = 1

p(8,8) = 1

n = 9 -------------------------

p(9,1) = 1

p(9,2) = 4

p(9,3) = 7

p(9,4) = 6

p(9,5) = 5

p(9,6) = 3

p(9,7) = 2

p(9,8) = 1

p(9,9) = 1

n = 10 -------------------------

p(10,1) = 1

p(10,2) = 5

p(10,3) = 8

p(10,4) = 9

p(10,5) = 7

p(10,6) = 5

p(10,7) = 3

p(10,8) = 2

p(10,9) = 1

p(10,10) = 1

n = 11 -------------------------

p(11,1) = 1

p(11,2) = 5

p(11,3) = 10

p(11,4) = 11

p(11,5) = 10

p(11,6) = 7

p(11,7) = 5

p(11,8) = 3

p(11,9) = 2

p(11,10) = 1

p(11,11) = 1

n = 12 -------------------------

p(12,1) = 1

p(12,2) = 6

p(12,3) = 12

p(12,4) = 15

p(12,5) = 13

p(12,6) = 11

p(12,7) = 7

p(12,8) = 5

p(12,9) = 3

p(12,10) = 2

p(12,11) = 1

p(12,12) = 1

n = 13 -------------------------

p(13,1) = 1

p(13,2) = 6

p(13,3) = 14

p(13,4) = 18

p(13,5) = 18

p(13,6) = 14

p(13,7) = 11

p(13,8) = 7

p(13,9) = 5

p(13,10) = 3

p(13,11) = 2

p(13,12) = 1

p(13,13) = 1

n = 14 -------------------------

p(14,1) = 1

p(14,2) = 7

p(14,3) = 16

p(14,4) = 23

p(14,5) = 23

p(14,6) = 20

p(14,7) = 15

p(14,8) = 11

p(14,9) = 7

p(14,10) = 5

p(14,11) = 3

p(14,12) = 2

p(14,13) = 1

p(14,14) = 1

n = 15 -------------------------

p(15,1) = 1

p(15,2) = 7

p(15,3) = 19

p(15,4) = 27

p(15,5) = 30

p(15,6) = 26

p(15,7) = 21

p(15,8) = 15

p(15,9) = 11

p(15,10) = 7

p(15,11) = 5

p(15,12) = 3

p(15,13) = 2

p(15,14) = 1

p(15,15) = 1

n = 16 -------------------------

p(16,1) = 1

p(16,2) = 8

p(16,3) = 21

p(16,4) = 34

p(16,5) = 37

p(16,6) = 35

p(16,7) = 28

p(16,8) = 22

p(16,9) = 15

p(16,10) = 11

p(16,11) = 7

p(16,12) = 5

p(16,13) = 3

p(16,14) = 2

p(16,15) = 1

p(16,16) = 1

n = 17 -------------------------

p(17,1) = 1

p(17,2) = 8

p(17,3) = 24

p(17,4) = 39

p(17,5) = 47

p(17,6) = 44

p(17,7) = 38

p(17,8) = 29

p(17,9) = 22

p(17,10) = 15

p(17,11) = 11

p(17,12) = 7

p(17,13) = 5

p(17,14) = 3

p(17,15) = 2

p(17,16) = 1

p(17,17) = 1

n = 18 -------------------------

p(18,1) = 1

p(18,2) = 9

p(18,3) = 27

p(18,4) = 47

p(18,5) = 57

p(18,6) = 58

p(18,7) = 49

p(18,8) = 40

p(18,9) = 30

p(18,10) = 22

p(18,11) = 15

p(18,12) = 11

p(18,13) = 7

p(18,14) = 5

p(18,15) = 3

p(18,16) = 2

p(18,17) = 1

p(18,18) = 1

n = 19 -------------------------

p(19,1) = 1

p(19,2) = 9

p(19,3) = 30

p(19,4) = 54

p(19,5) = 70

p(19,6) = 71

p(19,7) = 65

p(19,8) = 52

p(19,9) = 41

p(19,10) = 30

p(19,11) = 22

p(19,12) = 15

p(19,13) = 11

p(19,14) = 7

p(19,15) = 5

p(19,16) = 3

p(19,17) = 2

p(19,18) = 1

p(19,19) = 1

n = 20 -------------------------

p(20,1) = 1

p(20,2) = 10

p(20,3) = 33

p(20,4) = 64

p(20,5) = 84

p(20,6) = 90

p(20,7) = 82

p(20,8) = 70

p(20,9) = 54

p(20,10) = 42

p(20,11) = 30

p(20,12) = 22

p(20,13) = 15

p(20,14) = 11

p(20,15) = 7

p(20,16) = 5

p(20,17) = 3

p(20,18) = 2

p(20,19) = 1

p(20,20) = 1

...

In how many ways can you write 20 as a sum of three counting numbers?

p(20,3) = 33

\(\begin{array}{|r|ll|} \hline & 20 = \\ \hline 1 & 1+1+18 \\ 2 & 1+2+17 \\ 3 & 1+3+16 \\ 4 & 1+4+15 \\ 5 & 1+5+14 \\ 6 & 1+6+13 \\ 7 & 1+7+12 \\ 8 & 1+8+11 \\ 9 & 1+9+10 \\ \hline 10 & 2+2+16 \\ 11 & 2+3+15 \\ 12 & 2+4+14 \\ 13 & 2+5+13 \\ 14 & 2+6+12 \\ 15 & 2+7+11 \\ 16 & 2+8+10 \\ 17 & 2+9+9 \\ \hline 18 & 3+3+14 \\ 19 & 3+4+13 \\ 20 & 3+5+12 \\ 21 & 3+6+11 \\ 22 & 3+7+10 \\ 23 & 3+8+9 \\ \hline 24 & 4+4+12 \\ 25 & 4+5+11 \\ 26 & 4+6+10 \\ 27 & 4+7+9 \\ 28 & 4+8+8 \\ \hline 29 & 5+5+10 \\ 30 & 5+6+9 \\ 31 & 5+7+8 \\ \hline 32 & 6+6+8 \\ 33 & 6+7+7 \\ \hline \end{array}\)

1. The function only exists when x > 2.....so  x = 2 is the vertical asymptote

2. All real numbers  > 1

2(6)^(5x)  =  221      divide both sides by 2

6^(5x)  =  110.5        take the log of each side

log 6^(5x)  =  log (110.5)    and we can write

(5x) log 6  =  log 110.5       divide both sides by 5log 6

x  =     log 110.5

          _________

            5 log 6

Symmetric over y = x

Inverses

Shifted to the left 3  and up 1