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Mar 30, 2017
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Mar 30, 2017
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Let's first simplify x^4[1 - x]^4 / [1 + x^2]

 

[1 - x]^4  =  [x - 1]^4  =  x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1

 

So .....  x^4[ 1 - x]^4 / [ 1 + x^2]   =  x^4 [ x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1] / [1 + x^2] =

 

[ x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4] / [ 1 + x^2]

 

Perform synthetic division

 

                x^6  - 4x^5  + 5x^4 - 4x^2 + 4

x^2 + 1  [ x^8- 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4]

               x^8                x^6      

              _________________________

                      -4x^7  + 5x^6 - 4x^5  + x^4

                     -4x^7               -4x^5

                    _______________________

                                  5x^6               + x^4

                                  5x^6               + 5x^4

                                 __________________

                                                         -4x^4

                                                         -4x^4   - 4x^2

                                                        ___________

                                                                       4x^2   

                                                                       4x^2 + 4

                                                                      _______

                                                                              -4

 

So......we have

 

1

∫     x^6  - 4x^5  + 5x^4 - 4x^2 + 4 - 4 / [ x^2 + 1]   dx      = 

0

 

          1                      1             1                   1          1                       1

x^7/7 ]      -  (2/3)x^6 ]    +  x^5 ]     - (4/3)x^3 ]  + 4x ]    -  4arctan(x) ]           =

         0                        0             0                  0         0                        0

 

(1/7)  -         (2/3)        +     1           -   (4/3)        +    4     -   4arctan(1)   =

 

22/7     -  4  [pi / 4]  =

 

22/7  - pi    ≈  0.0013

 

 

 

cool cool cool

Mar 30, 2017
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Mar 30, 2017

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