All Answers 359093 Answers

The answer is 12.

Paula bought boxes of thank you cards and get well cards. The thank you cards came in boxes of 5 and the get well cards came in boxes of 4. Paula bought 9 boxes and got a total of 41 cards. How many boxes of each type of card did she buy?     

           call a box of Thank you cards "T"     

           call a box of Get well cards "G"     

           T + G  =  9             –>     G = 9 – T     (eq 1)     

           5T + 4G  =  41                                    (eq 2)     

           5T + 4 (9 – T)  =  41     

           5T + 36 – 4T  =  41     

                              T  =  41 – 36     

                              T  =  5     

                       T + G  =  9     

                       5 + G  =  9     

                             G  =  9 – 5     

                             G  =  4     

_.     

Let u and v be the solutions to 3x^2 + 5x + 7 = 2x^2 - 4x - 11. Find u/v + v/u.      

given                       3x² + 5x + 7  =  2x² – 4x – 11     

                                  x² + 9x + 18  =  0     

                                 (x + 3)(x +6)  =  0      

                                            x  =  – 3     let this one be u     

                                            x  =  – 6     let this one be v     

                                   u        v           –3        –6             1        2     

                                  ––  +  ––    =    –––  +  –––    =    ––  +  ––    =    2.5     

                                   v        u            –6        –3             2        1     

_.     

Find x + 1/x if 3x + 2x - 4 = 2(x + 9) - (7 - x)     

Find x first, then the other will be easy.     3x + 2x – 4  =  2(x + 9) – (7 – x)     

                                                                  3x + 2x – 4 – 2(x + 9) + (7 – x)  =  0     

                                                                  3x + 2x – 2x – x – 4 – 18 + 7  =  0     

                                                                  2x – 15  =  0     ——>     x  =  ¹⁵/₂     

Find x + 1/x             15       1             15       2             225     4             229     

                               ––– + –––    =    ––– + –––    =    ––– + –––    =    –––     

                                 2      ¹⁵/₂            2       15             30     30             30     

_.     

In terms of pi, what is the area of the circle defined by the equation 2x^2+2y^2+10x-6y-48=x^2+y^2-2x+4y-10     

given                                        2x² + 2y² + 10x – 6y – 48  =  x² + y² – 2x + 4y – 10      

rearrange                                  (x² + 12x     )  +  (y² – 10y     )  =  – 10     

complete squares                     (x² + 12x + 36)  +  (y² – 10y + 25)  =  – 10 + 36 + 25     

                                                         (x + 6)²       +       (y – 5)²        =  51     

The equation of a circle is   (x – h)² + (y – k)²  =  r²   where r is the radius.     

So, in our problem, r² is 51,  The area in any circle is π r², so    Area = 51 π.       

_.     

Find an ordered pair (u,v) that solves the system     

5u = -7 + 2v     

3u = 5v - 25      

5u  =  2v – 7          multiply by 5  —>>    25u  =  10v – 35     (1)     

3u  =  5v – 25        multiply by 2  —>>      6u  =  10v – 50     (2)     

subtract (2) from (1)                                 19u  =           15     

                                                                     u  =  15/19     

sub back in original       (5)(15/19)  =  2v – 7     

                                             75/19   =  2v – 133/19     

                                                    2v  =  (75 + 133)/19  =  208/19     

                                                      v  =  104/19     

check answer     

sub both back

in other original             (3)(15/19)  =?  (5)(104/19) – 25     

                                           45/19   =?  520/19 – 475/19     

                                           45/19   =      45/19     True     

_.     

Find the largest integer k such that the equation 5x^2 - kx + 8 = 4x^2 has no real solutions.     

                                              5x² – kx + 8  =  4x²     

standard form                          x² – kx + 8  =  0       

A quadratic has no real solutions,     

when the discriminant is negative.     

                                                 b² – 4ac  <  0     

                                                 k² – (4)(1)(8)  <  0     

                                                 k² – 32  <  0     

                                                 k²  <  32     

The sqrt(32) is 5.657 so 5 would be the largest integer.     

_.     

Simplify m*n*3*2*2(-2)*m*(-1)*n*(-3)     

rearrange      m • m • n • n • 3 • 2 • 2 • –3 • –2 • –1     

                      m² • n² • 12 • –6     

                      –72m²n²     

I'm not certain it's simpler, but it's definitely shorter.     

_.     

A standard six-sided die is rolled twice.  What is the probability that the product of the rolls is 8?     

How many combinations make 8?  2, 4 and 4, 2             2     

How many combinations could there have been?         36     

The probability of the product being one of the     

two combinations that produces a product of 8 . . . . 2 / 36     

                                                                 reduces to 1 / 18  or  5.56%     

_.     

I am stuck on this problem: Find the area of the region enclosed by the graph of  x^2 + y^2 = 2x - 6y - 10x + 14y + 88.     

                           x² + y²  =  2x – 6y – 10x + 14y + 88     

                           x² + y² + 8x – 8y  =  88     

                          (x² + 8x    )  +  (y² – 8y    )  =  88     

                          (x² + 8x + 16)  +  (y² – 8y + 16)  =  88 + 16 + 16    

                                 (x + 4)²     +       (y – 4)²       =  120     

The equation of a circle is (x – h)² + (y – k)²  =  r²     

where x and y locate the center, and r is the radius.     

                            Area of a circle is π r².     

                            r² of our circle is 120.     

                            Area = 120 π     

_.